Exercice 56

Supposons qu'un réel $y$ ne soit pris qu'un nombre fini de fois ; il l'est au moins une fois, par surjectivité. Soit $A$ le plus grand de ses antécédents. Sur l'intervalle $]A\,,+\infty[$, la fonction continue $f - y$ ne s'annule pas : elle garde un signe constant (proposition 15). Supposons par exemple $f > y$ sur $]A\,,+\infty[$. La fonction $f$ est continue sur le segment $[0\,,A]$ : elle y admet un minimum $m$ (théorème 10). Alors $f(x) \geqslant \min(m, y)$ pour tout $x \geqslant 0$, et les réels strictement inférieurs à $\min(m, y)$ ne sont pas atteints, ce qui contredit la surjectivité. Le cas $f < y$ se traite de même avec le maximum. $$\boxed{f \text{ prend chaque valeur une infinité de fois}}$$

Pour la seconde question, la réponse est non : une telle fonction aurait des valeurs à au plus deux antécédents, et l'exercice 57 montre qu'alors une valeur au moins a exactement un antécédent. $$\boxed{\text{aucune fonction continue ne prend chaque valeur de son image exactement deux fois}}$$