Exercice 57

1. Si $f$ est injective, toute valeur de $f(\mathbb{R})$ a exactement un antécédent, et $f(\mathbb{R})$ n'est pas vide. $$\boxed{\text{c'est fini}}$$

2. Si $f$ était constante sur $[a\,,b]$, la valeur $f(a)$ aurait une infinité d'antécédents : il existe donc $t \in \,]a\,,b[$ tel que $f(t) \neq f(a)$. Si $f(t) > f(a)$, le maximum $M$ de $f$ sur $[a\,,b]$, qui existe par le théorème 10, vérifie $M \geqslant f(t) > f(a) = f(b)$ : il n'est atteint ni en $a$ ni en $b$, donc en un point $c \in \,]a\,,b[$. Si $f(t) < f(a)$, le même raisonnement s'applique au minimum, ce qui revient à changer $f$ en $-f$. $$\boxed{M = f(c) > f(a), \ c \in \,]a\,,b[}$$

3. Soit $c' \neq c$ un second antécédent de $M$. Pour $y$ compris entre $f(a)$ et $M$, le théorème des valeurs intermédiaires fournit un antécédent de $y$ dans $]a\,,c[$ et un dans $]c\,,b[$. On en cherche un troisième.

• Si $c' \notin [a\,,b]$, par exemple $c' > b$ : comme $f(b) < M = f(c')$, tout $y \in \,]f(b)\,,M[$ a aussi un antécédent dans $]b\,,c'[$, ce qui en fait trois. Le cas $c' < a$ est symétrique.

• Si $c' \in [a\,,b]$, alors $c' \in \,]a\,,b[$, et l'on peut supposer $c < c'$. Si $f$ était constante égale à $M$ sur $[c\,,c']$, la valeur $M$ aurait une infinité d'antécédents ; il existe donc $t \in \,]c\,,c'[$ tel que $f(t) < M$. Tout $y \in \,]\max(f(a), f(t))\,,M[$ a alors un antécédent dans chacun des intervalles $]a\,,c[$, $]c\,,t[$, $]t\,,c'[$ et $]c'\,,b[$, soit quatre.

4. La question 3 contredit l'hypothèse. Le maximum $M$ n'a donc pas de second antécédent : $$\boxed{M \text{ a exactement un antécédent, } c}$$

À retenir. L'idée directrice est qu'au voisinage d'un extremum local strict, les valeurs proches sont prises deux fois, de part et d'autre : un second antécédent de l'extremum crée nécessairement un troisième antécédent pour les valeurs voisines. C'est le théorème des valeurs intermédiaires, appliqué plusieurs fois, qui compte les antécédents.