Exercice 48

D'après la proposition 20 du cours, on étudie séparément parties réelle et imaginaire.

(a) On a $\dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} t} - 1}{t} = \dfrac{\cos t - 1}{t} + \mathrm{i}\,\dfrac{\sin t}{t}$, où le premier quotient tend vers $0$, car $|1 - \cos t| \leqslant \frac{t^{2}}{2}$, et le second vers $1$. $$\boxed{\text{la limite vaut } \mathrm{i}}$$ C'est la dérivée en $0$ de $t \mapsto \mathrm{e}^{\mathrm{i} t}$, qui vaut $\mathrm{i}\mathrm{e}^{\mathrm{i} \cdot 0}$.

(b) Le module $|t\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}/t}| = |t|$ tend vers $0$. $$\boxed{\text{la limite vaut } 0}$$

(c) La partie réelle $\cos\frac{1}{t}$ n'a pas de limite en $0$, comme $\sin\frac{1}{t}$ dans le cours. $$\boxed{\text{pas de limite}}$$

(d) Par les formules d'Euler, l'expression vaut $$\frac{2\mathrm{i}\sin t}{2\operatorname{sh} t} = \mathrm{i}\,\frac{\sin t}{t} \times \frac{t}{\operatorname{sh} t},$$ et $\frac{\operatorname{sh} t}{t}$ tend vers $\operatorname{sh}'(0) = \operatorname{ch} 0 = 1$. $$\boxed{\text{la limite vaut } \mathrm{i}}$$