Exercice 47

1. Si $f = c$ est constante, $u_{n} = \frac{c}{n}\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k}$ vaut $0$ si $n$ est pair et $-\frac{c}{n}$ si $n$ est impair. Si $f = \mathrm{id}$, on groupe les termes deux par deux : $$\boxed{u_{2p} = \frac{1}{(2p)^{2}}\sum_{j=1}^{p} \big(2j - (2j - 1)\big) = \frac{1}{4p}} \qquad\text{et}\qquad \boxed{u_{2p+1} = -\frac{p + 1}{(2p + 1)^{2}}}.$$ Dans les deux cas, $u_{n} \to 0$ : les termes de signes alternés se compensent.

2. On groupe de même les termes de $u_{2n}$ deux par deux : $$u_{2n} = \frac{1}{2n}\sum_{j=1}^{n} \Big(f\Big(\frac{2j}{2n}\Big) - f\Big(\frac{2j - 1}{2n}\Big)\Big).$$ Les deux points de chaque différence sont distants de $\frac{1}{2n} \leqslant \delta$ dès que $n \geqslant \frac{1}{\delta}$ ; chaque différence est alors majorée par $\varepsilon$ en valeur absolue, et $$\boxed{|u_{2n}| \leqslant \frac{1}{2n} \times n\varepsilon = \frac{\varepsilon}{2}}.$$

3. Pour les indices impairs, il reste un terme isolé : $$u_{2n+1} = \frac{1}{2n + 1}\bigg(\sum_{j=1}^{n} \Big(f\Big(\frac{2j}{2n + 1}\Big) - f\Big(\frac{2j - 1}{2n + 1}\Big)\Big) - f(1)\bigg).$$ Avec $M = \max |f|$, qui existe par le théorème 10, on obtient, pour $2n + 1 \geqslant \frac{1}{\delta}$, $$|u_{2n+1}| \leqslant \frac{n\varepsilon + M}{2n + 1} \leqslant \frac{\varepsilon}{2} + \frac{M}{2n + 1}.$$ Ainsi $|u_{n}| \leqslant \varepsilon$ pour $n$ assez grand, pair ou impair. $\boxed{\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n} = 0}$

À retenir. La continuité uniforme fournit un même $\delta$ pour tous les couples de points voisins : c'est exactement ce qu'il faut pour contrôler simultanément les $n$ différences. Le chapitre 18 utilisera le même argument pour montrer que les sommes de Riemann d'une fonction continue convergent.