Exercice 46

1. Soit $x > 0$ et $n = \lfloor \frac{x}{\delta} \rfloor + 1$, de sorte que $\frac{x}{n} < \delta$ et $n \leqslant \frac{x}{\delta} + 1$. Les points $\frac{kx}{n}$, pour $0 \leqslant k \leqslant n$, sont distants de $\frac{x}{n} \leqslant \delta$ ; en écrivant $f(x) - f(0)$ comme une somme télescopique, $$|f(x) - f(0)| \leqslant \sum_{k=1}^{n} \Big|f\Big(\frac{kx}{n}\Big) - f\Big(\frac{(k - 1)x}{n}\Big)\Big| \leqslant n \leqslant \frac{x}{\delta} + 1.$$ Le cas $x < 0$ est identique. $$\boxed{|f(x) - f(0)| \leqslant \frac{|x|}{\delta} + 1}$$

2. On en déduit $|f(x)| \leqslant |f(0)| + 1 + \frac{|x|}{\delta}$. $$\boxed{\alpha = \frac{1}{\delta}, \ \beta = |f(0)| + 1}$$

3. Pour tous réels $\alpha$ et $\beta$, on a $\frac{x^{2}}{\alpha x + \beta} \to +\infty$ et $\frac{\mathrm{e}^{x}}{\alpha x + \beta} \to +\infty$ en $+\infty$, par croissances comparées : aucune majoration affine n'est possible. $$\boxed{x^{2} \text{ et } \exp \text{ ne sont pas uniformément continues sur } \mathbb{R}}$$

La réciproque est fausse : $x \mapsto \sin(x^{2})$ est bornée, donc majorée par $0 \cdot |x| + 1$, mais n'est pas uniformément continue (exercice 44).