Exercice 45

1. Soit $\varepsilon > 0$. Il existe $A \geqslant 0$ tel que $|f(x) - \ell| \leqslant \frac{\varepsilon}{2}$ pour $x \geqslant A$ ; alors $|f(x) - f(y)| \leqslant \varepsilon$ pour tous $x$, $y \geqslant A$. Par le théorème de Heine sur le segment $[0\,,A + 1]$, il existe $\delta' > 0$ tel que $|f(x) - f(y)| \leqslant \varepsilon$ pour $x$, $y \in [0\,,A + 1]$ et $|x - y| \leqslant \delta'$. Posons $\delta = \min(\delta', 1)$, et soit $x \leqslant y$ tels que $y - x \leqslant \delta$. Ou bien $y \leqslant A + 1$, et les deux points sont dans $[0\,,A + 1]$ ; ou bien $y > A + 1$, et alors $x \geqslant y - 1 > A$. Dans les deux cas, $|f(x) - f(y)| \leqslant \varepsilon$. $$\boxed{f \text{ est uniformément continue}}$$

Le chevauchement des deux zones, de longueur $1$, est essentiel : il garantit que deux points proches sont toujours ensemble dans l'une d'elles.

2. La bornitude s'obtient comme à l'exercice 34 : $f$ est proche de ses limites en dehors d'un segment $[-A\,,A]$, et bornée sur ce segment. Pour la continuité uniforme, on découpe $\mathbb{R}$ en trois zones qui se chevauchent, $]-\infty\,,-A]$, $[-A - 1\,,A + 1]$ et $[A\,,+\infty[$, et l'on raisonne de même. $$\boxed{f \text{ est bornée et uniformément continue}}$$