Exercice 44

Dans chaque cas, on applique la méthode du cours : on se place là où la courbe devient raide, et l'on construit deux suites d'écart tendant vers $0$ dont les images restent écartées, ce qui contredit la continuité uniforme (proposition 19).

Fonction $x \mapsto \sin(x^{2})$. La courbe oscille de plus en plus vite. Avec $y_{n} = \sqrt{n\pi}$ et $x_{n} = \sqrt{n\pi + \frac{\pi}{2}}$, $$x_{n} - y_{n} = \frac{\pi/2}{\sqrt{n\pi + \pi/2} + \sqrt{n\pi}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 \qquad\text{et}\qquad |\sin(x_{n}^{2}) - \sin(y_{n}^{2})| = |\pm 1 - 0| = 1.$$

Fonction $\ln$ sur $]0\,,1]$. La courbe devient raide près de $0$. Avec $x_{n} = \frac{1}{n}$ et $y_{n} = \frac{1}{2n}$, l'écart $\frac{1}{2n}$ tend vers $0$, mais $\ln x_{n} - \ln y_{n} = \ln 2$. $$\boxed{\text{non uniformément continue, avec } \varepsilon = \ln 2}$$

Fonction $\exp$ sur $\mathbb{R}$. La courbe devient raide en $+\infty$. Avec $y_{n} = n$ et $x_{n} = n + \mathrm{e}^{-n}$, l'écart $\mathrm{e}^{-n}$ tend vers $0$, et, grâce à l'inégalité $\mathrm{e}^{u} - 1 \geqslant u$ du chapitre 5, $$\mathrm{e}^{x_{n}} - \mathrm{e}^{y_{n}} = \mathrm{e}^{n}\big(\mathrm{e}^{\mathrm{e}^{-n}} - 1\big) \geqslant \mathrm{e}^{n} \times \mathrm{e}^{-n} = 1.$$

Fonction $x \mapsto x\sin\frac{1}{x}$ sur $]0\,,1]$. Elle se prolonge par continuité en $0$ par la valeur $0$ (cours, section 8.3). Le prolongement est continu sur le segment $[0\,,1]$, donc uniformément continu par le théorème de Heine, et sa restriction à $]0\,,1]$ l'est aussi. $$\boxed{\text{uniformément continue}}$$

Fonction $x \mapsto \sin\frac{1}{x}$ sur $]0\,,1]$. Avec $x_{n} = \frac{1}{2n\pi + \pi/2}$ et $y_{n} = \frac{1}{2n\pi}$, l'écart tend vers $0$ et les images valent $1$ et $0$. $$\boxed{\text{non uniformément continue}}$$

À retenir. Une fonction continue sur un intervalle borné $]a\,,b]$ qui se prolonge par continuité en $a$ est uniformément continue, par le théorème de Heine ; on peut montrer que la réciproque est vraie. C'est toute la différence entre $x\sin\frac{1}{x}$ et $\sin\frac{1}{x}$.