Exercice 43

1. Soit $f$ et $g$ lipschitziennes sur $[0\,,1]$, de constantes $k$ et $k'$. Elles sont bornées : pour tout $x \in [0\,,1]$, on a $|f(x)| \leqslant |f(0)| + k$, et de même pour $g$. Notons $M$ un majorant commun de $|f|$ et $|g|$. En faisant apparaître un terme intermédiaire, $$f(x)g(x) - f(y)g(y) = f(x)\big(g(x) - g(y)\big) + g(y)\big(f(x) - f(y)\big),$$ d'où $|fg(x) - fg(y)| \leqslant M(k + k')\,|x - y|$. $$\boxed{fg \text{ est lipschitzienne}}$$

2. Sur $\mathbb{R}$, c'est faux : $\mathrm{id}$ est $1$-lipschitzienne, mais $x \mapsto x^{2}$ ne l'est pas (cours, section 8.5). Ce qui manque, c'est la bornitude, que $[0\,,1]$ fournissait. Si les deux fonctions sont lipschitziennes et bornées sur $\mathbb{R}$, la démonstration précédente s'applique sans changement. $$\boxed{\text{vrai si } f \text{ et } g \text{ sont bornées}}$$

3. Pour la somme, on associe $\delta_{1}$ et $\delta_{2}$ à $\frac{\varepsilon}{2}$ pour $f$ et $g$, et $\delta = \min(\delta_{1}, \delta_{2})$ convient pour $f + g$. Pour le produit, $\mathrm{id}$ est uniformément continue sur $\mathbb{R}$, mais $\mathrm{id} \times \mathrm{id}$ ne l'est pas, d'après l'exemple de la section 8.5 du cours. $$\boxed{\text{somme : oui ; produit : non en général}}$$