Exercice 42

(a) Pour tous réels $x$ et $y$, en multipliant par la quantité conjuguée, $$\Big|\sqrt{1 + x^{2}} - \sqrt{1 + y^{2}}\Big| = \frac{|x - y|\,|x + y|}{\sqrt{1 + x^{2}} + \sqrt{1 + y^{2}}} \leqslant |x - y|,$$ car $|x + y| \leqslant |x| + |y| < \sqrt{1 + x^{2}} + \sqrt{1 + y^{2}}$. $\boxed{k = 1}$

(b) Pour $x$, $y \geqslant 1$, $\big|\frac{1}{x} - \frac{1}{y}\big| = \frac{|x - y|}{xy} \leqslant |x - y|$. $\boxed{k = 1}$

(c) D'après le cours, $|\sin u - \sin v| \leqslant |u - v|$ et $|\cos u - \cos v| \leqslant |u - v|$, donc $$\big|(\sin 3x - 2\cos x) - (\sin 3y - 2\cos y)\big| \leqslant 3|x - y| + 2|x - y|.$$ $\boxed{k = 5}$

(d) Par deux applications de l'inégalité triangulaire renversée, $$\Big|\,\big||x| - 1\big| - \big||y| - 1\big|\,\Big| \leqslant \big||x| - |y|\big| \leqslant |x - y|. \qquad \boxed{k = 1}$$

Composée et somme. Si $f$ est $k$-lipschitzienne et $g$ est $k'$-lipschitzienne, alors $$|g(f(x)) - g(f(y))| \leqslant k'|f(x) - f(y)| \leqslant kk'|x - y| \quad\text{et}\quad |(f + g)(x) - (f + g)(y)| \leqslant (k + k')|x - y|.$$

$$\boxed{g \circ f \text{ est } kk'\text{-lipschitzienne}, \ f + g \text{ est } (k + k')\text{-lipschitzienne}}$$ On retrouve ainsi les constantes trouvées en (c) et (d).