Exercice 41

1. L'ensemble $A$ est non vide, car $f$ est périodique, et minoré par $0$ : il admet une borne inférieure $T \geqslant 0$. D'après la caractérisation séquentielle de la borne inférieure (chapitre 7, proposition 13), il existe $$\boxed{(\tau_{n}) \in A^{\mathbb{N}} \text{ telle que } \lim\limits_{n \to +\infty} \tau_{n} = T}.$$

2. Pour tout réel $x$ et tout $n$, $f(x + \tau_{n}) = f(x)$. Comme $x + \tau_{n} \to x + T$, la continuité de $f$ donne $\boxed{f(x + T) = f(x)}$.

3. Supposons $T = 0$, et soit $x$ et $y$ deux réels. Pour chaque $n$, posons $k_{n} = \Big\lfloor \dfrac{y - x}{\tau_{n}} \Big\rfloor$, de sorte que $0 \leqslant y - x - k_{n}\tau_{n} < \tau_{n}$. Tout multiple entier relatif d'une période étant une période, $f(x + k_{n}\tau_{n}) = f(x)$. Or $x + k_{n}\tau_{n} \to y$, et la continuité de $f$ en $y$ donne $f(x) = f(y)$ : $f$ serait constante, ce qui est exclu. Donc $T > 0$, et $T$ est une période par la question 2 : c'est le plus petit élément de $A$. $$\boxed{f \text{ admet une plus petite période } T > 0}$$

4. Pour $f = \mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$, tout rationnel $r > 0$ est une période, car $x + r$ est rationnel si et seulement si $x$ l'est. Ainsi $\inf A = 0$, alors que $0 \notin A$ : $$\boxed{\mathbf{1}_{\mathbb{Q}} \text{ n'a pas de plus petite période}}.$$ La question 2 échoue, faute de continuité.