Exercice 40

1. La relation $f \circ f = \mathrm{id}$ montre que $f$ est bijective, de réciproque elle-même. Continue et injective sur l'intervalle $[0\,,+\infty[$, elle est strictement monotone (proposition 17). Si elle était décroissante, on aurait $f(x) \leqslant f(0)$ pour tout $x \geqslant 0$, et $f([0\,,+\infty[)$ serait borné, alors que $f$ est surjective sur $[0\,,+\infty[$. $$\boxed{f \text{ est strictement croissante}}$$

2. Supposons $f(x) < x$ pour un réel $x$. En composant par $f$, strictement croissante, on obtient $f(f(x)) < f(x)$, soit $x < f(x)$ : contradiction. De même, $f(x) > x$ est impossible. $\boxed{f = \mathrm{id}}$

3. La fonction $\boxed{f : x \mapsto -x}$ convient sur $\mathbb{R}$, ainsi que $x \mapsto c - x$ pour tout réel $c$. L'argument de la question 1 utilisait l'existence d'un plus petit élément $0$ dans l'ensemble de départ : sur $\mathbb{R}$, une fonction décroissante peut être surjective.