Exercice 39

1. Comme $\mathrm{e}^{x} + 2 > 0$, la fonction $f$ est définie sur $\boxed{\mathbb{R}}$. Composée de fonctions strictement croissantes, elle est strictement croissante, et $$\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = \ln 2, \qquad \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty.$$ 2. Par le théorème de la bijection continue, $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\boxed{J = \,]\ln 2\,,+\infty[}$, et $f^{-1}$ est continue et strictement croissante. Pour $y > \ln 2$, on résout $y = \ln(\mathrm{e}^{x} + 2)$, soit $\mathrm{e}^{x} = \mathrm{e}^{y} - 2 > 0$ : $$\boxed{f^{-1}(y) = \ln(\mathrm{e}^{y} - 2)}.$$ 3. On a $f(x) - x = \ln(\mathrm{e}^{x} + 2) - \ln(\mathrm{e}^{x}) = \ln(1 + 2\mathrm{e}^{-x}) \xrightarrow[x \to +\infty]{} \boxed{0}$ : la droite $y = x$ est asymptote à la courbe de $f$ en $+\infty$, et la courbe est au-dessus. La courbe de $f$ a aussi l'asymptote horizontale $y = \ln 2$ en $-\infty$. Par symétrie par rapport à la première bissectrice, la courbe de $f^{-1}$ a l'asymptote $y = x$ en $+\infty$, au-dessous, et l'asymptote verticale $x = \ln 2$.

Les deux courbes sont symétriques par rapport à la première bissectrice : l'asymptote horizontale de $f$ devient l'asymptote verticale de $f^{-1}$, et la droite $y = x$, invariante, est asymptote aux deux courbes, de part et d'autre.