ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 8 — Limites et continuité · Fonctions continues sur un intervalle

Exercice 38

Démonstration

Points antipodaux. Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continue et $1$ -périodique.

1. Montrer qu'il existe $x_{0} \in \mathbb{R}$ tel que $f\big(x_{0} + \frac{1}{2}\big) = f(x_{0})$ .

2. En déduire qu'il existe, à chaque instant, deux points diamétralement opposés de l'équateur terrestre où la température est la même, en admettant que celle-ci varie continûment le long de l'équateur.

Corrigé

1. Soit $g : x \mapsto f\big(x + \frac{1}{2}\big) - f(x)$ , continue. Par périodicité, $g\Big(\frac{1}{2}\Big) = f(1) - f\Big(\frac{1}{2}\Big) = f(0) - f\Big(\frac{1}{2}\Big) = -g(0).$ Les réels $g(0)$ et $g\big(\frac{1}{2}\big)$ sont opposés : $g$ s'annule sur $\big[0\,,\frac{1}{2}\big]$ . $\boxed{\exists x_{0},\ f\Big(x_{0} + \frac{1}{2}\Big) = f(x_{0})}$

2. On repère un point de l'équateur par sa longitude $\theta$ , mesurée en tours, et l'on note $T(\theta)$ la température en ce point. La fonction $T$ est continue et $1$ -périodique, et deux points diamétralement opposés ont des longitudes qui diffèrent d'un demi-tour. La question 1 conclut. $\boxed{\text{deux points antipodaux ont même température}}$

Énoncé PDF, p. 8 Corrigé PDF, p. 18 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Théorème des valeurs intermédiaires

Thèmes

fonctions continues sur un intervalle, fonctions périodiques

Notions

continuité