Exercice 37

1. La somme est télescopique : $$\sum_{k=0}^{n-1} g\Big(\frac{k}{n}\Big) = \sum_{k=0}^{n-1} \Big(f\Big(\frac{k + 1}{n}\Big) - f\Big(\frac{k}{n}\Big)\Big) = f(1) - f(0) = \boxed{0}.$$ Une somme nulle de réels contient un terme positif et un terme négatif, ou n'a que des termes nuls. Dans le premier cas, le théorème des valeurs intermédiaires, appliqué à $g$ entre les deux points correspondants, fournit un zéro de $g$ ; dans le second, $\frac{k}{n}$ convient. $$\boxed{\exists c \in \Big[0\,,1 - \frac{1}{n}\Big],\ f\Big(c + \frac{1}{n}\Big) = f(c)}$$

2. On a $f(0) = 1$ et $f(1) = \cos\frac{2\pi}{\alpha} - \cos\frac{2\pi}{\alpha} + 1 = 1$. Pour $x \in [0\,,1 - \alpha]$, le cosinus étant $2\pi$-périodique, $$f(x + \alpha) - f(x) = -\alpha\Big(\cos\frac{2\pi}{\alpha} - 1\Big).$$ Comme $\frac{1}{\alpha}$ n'est pas entier, $\frac{2\pi}{\alpha} \notin 2\pi\mathbb{Z}$ et $\cos\frac{2\pi}{\alpha} \neq 1$ : cette différence ne s'annule jamais. $$\boxed{\text{le résultat ne s'étend pas aux pas } \alpha \neq \tfrac{1}{n}}$$

3. Notons $d(t)$ la distance parcourue à l'instant $t \in [0\,,1]$, en heures, fonction continue, avec $d(0) = 0$ et $d(1) = 30$. La fonction $f : t \mapsto d(t) - 30t$ vérifie $f(0) = f(1) = 0$ ; la question 1 avec $n = 6$ fournit $c$ tel que $f\big(c + \frac{1}{6}\big) = f(c)$, soit $$d\Big(c + \frac{1}{6}\Big) - d(c) = \frac{30}{6} = 5.$$

Pour quarante minutes, soit $\frac{2}{3}$ d'heure, ce n'est pas garanti, car $\frac{3}{2}$ n'est pas entier. Prenons $d(t) = 28{,}5\,t + 1{,}5\sin^{2}\big(\frac{3\pi t}{2}\big)$. On a $d(0) = 0$, $d(1) = 28{,}5 + 1{,}5 = 30$, et $d$ est croissante, car $$d'(t) = 28{,}5 + 1{,}5 \times \frac{3\pi}{2}\sin(3\pi t) \geqslant 28{,}5 - \frac{9\pi}{4} > 0.$$ Comme $\sin^{2}$ est $\pi$-périodique, $d\big(t + \frac{2}{3}\big) - d(t) = 28{,}5 \times \frac{2}{3} = 19$ pour tout $t \in \big[0\,,\frac{1}{3}\big]$. $$\boxed{\text{non : ce cycliste parcourt exactement } 19 \text{ km en toute période de } 40 \text{ minutes}}$$