ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 8 — Limites et continuité · Fonctions continues sur un intervalle

Exercice 36

Démonstration

Deux fonctions qui se croisent. Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a\,,b]$ .

1. On suppose que $\max\limits_{[a,b]} f = \max\limits_{[a,b]} g$ . Montrer qu'il existe $x_{0} \in [a\,,b]$ tel que $f(x_{0}) = g(x_{0})$ .

2. On suppose que $f([a\,,b]) \subset g([a\,,b])$ . Montrer la même conclusion.

Corrigé

Dans les deux questions, on cherche deux points où la fonction continue $h = f - g$ prend des valeurs de signes contraires.

1. Soit $M$ le maximum commun, atteint par $f$ en $u$ et par $g$ en $v$ . Alors $h(u) = M - g(u) \geqslant 0$ et $h(v) = f(v) - M \leqslant 0$ . $\boxed{h \text{ s'annule entre } u \text{ et } v}$

2. Soit $v$ et $w$ des points où $g$ atteint son maximum et son minimum. Comme le maximum de $f$ appartient à $f([a\,,b])$ , donc à $g([a\,,b])$ , on a $\max f \leqslant g(v)$ , donc $h(v) \leqslant 0$  ; de même, $\min f \geqslant g(w)$ , donc $h(w) \geqslant 0$ . $\boxed{h \text{ s'annule entre } v \text{ et } w}$

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Dans l'édifice

Théorème des valeurs intermédiaires Limite d'une fonction en un point

Thèmes

fonctions continues sur un intervalle, limites

Notions

continuité, limite d'une fonction