Exercice 35

1. La fonction $f$ est continue sur le segment $[0\,,x]$ : elle y est bornée et atteint son maximum, donc $M(x)$ existe et c'est un maximum. Si $x \leqslant y$, alors $[0\,,x] \subset [0\,,y]$ et $M(x) \leqslant M(y)$. $$\boxed{M \text{ est croissante}}$$

2. Comme $[0\,,x] = [0\,,a] \cup [a\,,x]$, on a $$\boxed{M(x) = \max\big(M(a), \max\limits_{[a,x]} f\big)}.$$ Soit $\varepsilon > 0$ et $\delta > 0$ tel que $f(t) \leqslant f(a) + \varepsilon$ pour $t \in [a\,,a + \delta]$. Pour $a < x \leqslant a + \delta$, on obtient, puisque $f(a) \leqslant M(a)$, $$M(a) \leqslant M(x) \leqslant \max\big(M(a), f(a) + \varepsilon\big) \leqslant M(a) + \varepsilon.$$

3. Soit $a > 0$, $\varepsilon > 0$, et $\delta \in \,]0\,,a]$ tel que $|f(t) - f(a)| \leqslant \varepsilon$ pour $t \in [a - \delta\,,a]$. Pour $x \in [a - \delta\,,a[$, on a $M(a) = \max\big(M(x), \max_{[x,a]} f\big)$ et $M(x) \leqslant M(a)$. Si $M(a) = M(x)$, il n'y a rien à faire ; sinon, $M(a) = \max_{[x,a]} f \leqslant f(a) + \varepsilon$, et $$M(x) \geqslant f(x) \geqslant f(a) - \varepsilon \geqslant M(a) - 2\varepsilon.$$ Dans tous les cas, $M(a) - 2\varepsilon \leqslant M(x) \leqslant M(a)$. $$\boxed{M \text{ est continue sur } [0\,,+\infty[}$$