Exercice 34

1. La fonction $g - f$ est continue et strictement positive sur le segment $[a\,,b]$ : elle y atteint son minimum $m = (g - f)(x_{0}) > 0$ (théorème 10), et $\boxed{\varepsilon = m}$ convient. Sur $]0\,,1]$, c'est faux : avec $f = 0$ et $g = \mathrm{id}$, on a $f < g$, mais $\inf (g - f) = 0$.

2. Soit $T > 0$ une période. Sur le segment $[0\,,T]$, la fonction $f$ est bornée et atteint ses bornes, et l'on a $f(\mathbb{R}) = f([0\,,T])$ par périodicité. $$\boxed{f \text{ est bornée et atteint ses bornes}}$$

3. Il existe $A$ tel que $|f(x) - \ell| \leqslant 1$ pour $x \geqslant A$, et $f$ est bornée sur le segment $[0\,,A]$. $$\boxed{f \text{ est bornée}}$$ Elle n'atteint pas nécessairement ses bornes : $x \mapsto \frac{x}{1 + x}$ a pour borne supérieure $1$, qui n'est pas atteinte.

4. Si $|f| \leqslant M$, alors $g \circ f$ prend ses valeurs dans $g([-M\,,M])$, qui est borné par le théorème 10. $$\boxed{g \circ f \text{ est bornée}}$$ Quant à $f \circ g$, elle est bornée par $M$ sans aucune hypothèse sur $g$ : c'est le piège de la question.