Exercice 33

1. La fonction $\varphi$ est continue comme somme de fonctions continues. Pour tout réel $x$, on a $|x - x_{k}| \geqslant |x| - |x_{k}|$, donc $$\varphi(x) \geqslant n|x| - S, \qquad\text{avec}\qquad S = \sum_{k=1}^{n} |x_{k}|,$$ et $\varphi$ tend vers $+\infty$ en $\pm\infty$. Il existe donc $R > 0$ tel que $\varphi(x) \geqslant \varphi(0)$ pour $|x| \geqslant R$. Sur le segment $[-R\,,R]$, $\varphi$ atteint un minimum $m \leqslant \varphi(0)$ (théorème 10), qui est alors un minimum sur $\mathbb{R}$. $$\boxed{\varphi \text{ admet un minimum}}$$

2. Sur $[x_{k}\,,x_{k+1}]$, les $k$ termes d'indice $j \leqslant k$ valent $x - x_{j}$ et les $n - k$ autres valent $x_{j} - x$ : $\varphi$ y est affine, de pente $\boxed{k - (n - k) = 2k - n}$. Elle est de pente $-n$ avant $x_{1}$ et $n$ après $x_{n}$.

3. La pente $2k - n$ est négative tant que $k < \frac{n}{2}$ et positive dès que $k > \frac{n}{2}$ : $\varphi$ décroît, puis croît.

• Si $n$ est impair, $n = 2p + 1$, aucune pente n'est nulle, et le minimum est atteint au seul point $\boxed{x_{p+1}}$, la médiane des $x_{k}$.

• Si $n = 2p$ est pair, la pente est nulle sur $[x_{p}\,,x_{p+1}]$, et le minimum est atteint sur tout le segment $\boxed{[x_{p}\,,x_{p+1}]}$.

La médiane minimise ainsi la somme des écarts absolus, comme la moyenne minimise la somme des carrés des écarts.