Exercice 32

1. La suite $x_{n} = \frac{1}{2n\pi + \pi/2}$ tend vers $0$, et $f(x_{n}) = 1 \neq f(0)$. $$\boxed{f \text{ n'est pas continue en } 0}$$

2. Cas $a > 0$. La fonction $f$ est continue sur $[a\,,b]$, et le théorème des valeurs intermédiaires s'applique directement.

Cas $a = 0$. On a $f(0) = 0$, et $y$ est compris entre $0$ et $f(b)$. Si $y = 0$, on prend $c = 0$. Sinon, choisissons un entier $n$ tel que $d = \frac{1}{n\pi} < b$ : alors $f(d) = \sin(n\pi) = 0$, et $y$ est compris entre $f(d)$ et $f(b)$, avec $f$ continue sur $[d\,,b]$. Le théorème des valeurs intermédiaires fournit $c \in [d\,,b]$. $$\boxed{f \text{ vérifie la propriété des valeurs intermédiaires}}$$

À retenir. La fonction $f$ prend une infinité de fois la valeur $f(0) = 0$ près de $0$ : c'est ce qui permet de recopier près de $0$ la valeur atteinte en $0$, sans continuité.