Exercice 31

1. Supposons $f$ injective. Continue et injective sur l'intervalle $\mathbb{R}$, elle est strictement monotone (proposition 17), disons strictement croissante, l'autre cas s'en déduisant en changeant $f$ en $-f$. D'après le théorème 6, $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \sup_{\mathbb{R}} f > f(1)$, puisque $f(2) > f(1)$, et de même $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = \inf_{\mathbb{R}} f < f(0)$. On aurait $\ell > f(1) > f(0) > \ell$, ce qui est absurde. $$\boxed{f \text{ n'est pas injective}}$$

2. Même raisonnement sur l'intervalle $]a\,,b[$, en remplaçant $0$ et $1$ par deux points $c < d$ de $]a\,,b[$.

3. Si $f \circ f = -\mathrm{id}_{\mathbb{R}}$, alors $f(x) = f(y)$ entraîne $-x = f(f(x)) = f(f(y)) = -y$ : $f$ est injective, donc strictement monotone. Mais alors $f \circ f$ est strictement croissante, la composée de deux fonctions strictement monotones de même sens étant croissante, alors que $-\mathrm{id}_{\mathbb{R}}$ est décroissante. $$\boxed{\text{une telle fonction n'existe pas}}$$

En revanche, il existe des fonctions non continues vérifiant $f \circ f = -\mathrm{id}_{\mathbb{R}}$ ; la continuité est donc ici essentielle.