Exercice 30

1. Sur $I_{n} = \big]n\pi - \frac{\pi}{2}\,,n\pi + \frac{\pi}{2}\big[$, la fonction $\varphi : x \mapsto \tan x - x$ est dérivable, de dérivée $\tan^{2}x \geqslant 0$, qui ne s'annule qu'en $n\pi$ : elle est strictement croissante. Ses limites aux bornes de $I_{n}$ valent $-\infty$ et $+\infty$, car $\tan$ y tend vers $\mp\infty$. Par le théorème de la bijection continue, $\varphi$ s'annule une et une seule fois sur $I_{n}$. $$\boxed{x_{n} \text{ existe et est unique}}$$ On a $x_{0} = 0$.

2. Pour $n \geqslant 1$, on a $x_{n} > 0$, donc $\tan x_{n} = x_{n} > 0$, et $x_{n} \in \big]n\pi\,,n\pi + \frac{\pi}{2}\big[$. Posons $$\varepsilon_{n} = n\pi + \frac{\pi}{2} - x_{n} \in \Big]0\,,\frac{\pi}{2}\Big[.$$ Comme $\tan\big(\frac{\pi}{2} - \varepsilon\big) = \frac{1}{\tan\varepsilon}$, l'équation donne $$\frac{1}{\tan\varepsilon_{n}} = x_{n}, \qquad\text{soit}\qquad \varepsilon_{n} = \operatorname{Arctan}\frac{1}{x_{n}}.$$ Or $x_{n} > n\pi$ tend vers $+\infty$, et $\operatorname{Arctan}$ est continue en $0$ : $\varepsilon_{n} \to 0$. $$\boxed{\lim\limits_{n \to +\infty} (x_{n} - n\pi) = \frac{\pi}{2}}$$

3. On écrit $n\varepsilon_{n} = \dfrac{\operatorname{Arctan} u_{n}}{u_{n}} \times \dfrac{n}{x_{n}}$, avec $u_{n} = \frac{1}{x_{n}} \to 0$. Le premier facteur tend vers $\operatorname{Arctan}'(0) = 1$, comme taux d'accroissement ; le second tend vers $\frac{1}{\pi}$, puisque $\frac{x_{n}}{n} = \pi + \frac{\pi/2 - \varepsilon_{n}}{n} \to \pi$. $$\boxed{\lim\limits_{n \to +\infty} n\Big(\frac{\pi}{2} + n\pi - x_{n}\Big) = \frac{1}{\pi}}$$

Numériquement, pour $n = 1000$, $n\varepsilon_{n} \approx 0{,}31815$, contre $\frac{1}{\pi} \approx 0{,}31831$. Ce résultat se lit $$x_{n} = n\pi + \frac{\pi}{2} - \frac{1}{n\pi} + \cdots$$ C'est le début d'un développement asymptotique, que le chapitre 10 permettra de poursuivre.