Exercice 29

Dans chaque cas, on étudie le signe de $g : x \mapsto f(x) - x$, continue, et l'on applique le théorème des valeurs intermédiaires.

1. Il existe $u$ et $v$ dans $[a\,,b]$ tels que $f(u) = a$ et $f(v) = b$. Alors $g(u) = a - u \leqslant 0$ et $g(v) = b - v \geqslant 0$, et $g$ s'annule entre $u$ et $v$. $$\boxed{f \text{ admet un point fixe}}$$

2. La fonction $g$ est strictement décroissante, comme somme d'une fonction décroissante et d'une fonction strictement décroissante. Pour $x \leqslant 0$, $f(x) \geqslant f(0)$, donc $g(x) \geqslant f(0) - x$ tend vers $+\infty$ en $-\infty$ ; de même, $g(x) \leqslant f(0) - x$ pour $x \geqslant 0$. Ainsi $g$ prend des valeurs positives et négatives, s'annule par le théorème des valeurs intermédiaires, et une seule fois par stricte monotonie. $$\boxed{\text{un unique point fixe}}$$

3. On a $g(0) = f(0) \geqslant 0$. Comme $\frac{f(x)}{x} \to \ell < 1$, il existe $A > 0$ tel que $\frac{f(x)}{x} \leqslant \frac{1 + \ell}{2} < 1$ pour $x \geqslant A$ ; alors $g(A) < 0$. $$\boxed{f \text{ admet un point fixe dans } [0\,,A]}$$

4. Soit $x_{0}$ tel que $f(f(x_{0})) = x_{0}$, et $y_{0} = f(x_{0}) \in I$. Si $y_{0} = x_{0}$, c'est fini. Sinon, $g(x_{0}) = y_{0} - x_{0}$ et $g(y_{0}) = x_{0} - y_{0}$ sont de signes contraires, et $g$ s'annule entre $x_{0}$ et $y_{0}$, segment contenu dans l'intervalle $I$. $$\boxed{f \text{ admet un point fixe}}$$

Sans continuité, c'est faux : sur $I = [0\,,1]$, la fonction valant $1$ sur $\big[0\,,\frac{1}{2}\big]$ et $0$ sur $\big]\frac{1}{2}\,,1\big]$ vérifie $f(f(0)) = f(1) = 0$, mais n'a pas de point fixe, car $f(x) = x$ imposerait $x \in \{0, 1\}$. Cette fonction est décroissante : pour une fonction croissante de $[0\,,1]$ dans $[0\,,1]$, l'existence d'un point fixe subsiste sans continuité, et le résultat analogue sans continuité est l'exercice 46 de la feuille du chapitre 7.