Exercice 28

1. Le réel $y = \frac{pf(a) + qf(b)}{p + q}$ est une moyenne pondérée de $f(a)$ et $f(b)$, à poids positifs : il est compris entre eux, car par exemple, si $f(a) \leqslant f(b)$, $$f(a) = \frac{pf(a) + qf(a)}{p + q} \leqslant y \leqslant \frac{pf(b) + qf(b)}{p + q} = f(b).$$ Le théorème des valeurs intermédiaires fournit $$\boxed{c \in [a\,,b] \text{ tel que } f(c) = y}.$$

2. Soit $x_{i}$ et $x_{j}$ des points où $f(x_{i})$ est le plus petit et $f(x_{j})$ le plus grand des $f(x_{k})$. La moyenne est comprise entre $f(x_{i})$ et $f(x_{j})$, et le théorème des valeurs intermédiaires, appliqué sur le segment d'extrémités $x_{i}$ et $x_{j}$, conclut.

3. Non. Avec $f = \mathrm{id}$ sur $[0\,,1]$, $p = 2$ et $q = -1$, on obtient $\frac{2f(0) - f(1)}{2 - 1} = -1$, qui n'est pas atteint. $$\boxed{\text{faux si } pq < 0}$$ La moyenne n'est plus alors entre $f(a)$ et $f(b)$.