Exercice 27

1. D'après le théorème 9, $f(I)$ est un intervalle contenu dans $\mathbb{Z}$ ; or un intervalle contenant deux entiers distincts $m < n$ contient aussi $m + \frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}$. Donc $f(I)$ est réduit à un point. $$\boxed{f \text{ est constante}}$$

2. La fonction $f$ est continue sur l'intervalle $\mathbb{R}$, à valeurs dans $\{-1, 1\}$ : le même argument montre que $f(\mathbb{R})$ est un singleton. $$\boxed{f = 1 \text{ ou } f = -1}$$

3. La fonction $h = \frac{g}{f}$ est continue sur $I$, puisque $f$ ne s'annule pas, et $h^{2} = 1$ : par la question 2, appliquée sur $I$, $h = 1$ ou $h = -1$. $$\boxed{g = f \text{ ou } g = -f}$$ Chaque hypothèse est nécessaire :

• sans continuité de $f$ : $f$ valant $1$ sur $\mathbb{Q}$ et $-1$ ailleurs, et $g = 1$ ;

• si $f$ s'annule : $f : x \mapsto x$ et $g : x \mapsto |x|$ sur $\mathbb{R}$ ;

• si $I$ n'est pas un intervalle : $f = 1$ et $g$ valant $1$ sur $]0\,,+\infty[$ et $-1$ sur $]-\infty\,,0[$, continue sur $\mathbb{R}^{*}$.