Exercice 26

Pour $x > 0$, l'équation $(E_{a})$ équivaut à $h(x) = a$, où $h(x) = \frac{\ln x}{x}$. La fonction $h$ est dérivable, de dérivée $h'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^{2}}$ : elle est strictement croissante sur $]0\,,\mathrm{e}]$ et strictement décroissante sur $[\mathrm{e}\,,+\infty[$, avec $$\lim\limits_{x \to 0^{+}} h(x) = -\infty, \qquad h(1) = 0, \qquad h(\mathrm{e}) = \frac{1}{\mathrm{e}}, \qquad \lim\limits_{x \to +\infty} h(x) = 0,$$ la dernière limite par croissances comparées. D'après le théorème de la bijection continue, $h$ réalise une bijection de $]0\,,\mathrm{e}]$ sur $\big]-\infty\,,\frac{1}{\mathrm{e}}\big]$, et de $[\mathrm{e}\,,+\infty[$ sur $\big]0\,,\frac{1}{\mathrm{e}}\big]$, puisque $h > 0$ sur $]1\,,+\infty[$.

1. Si $a \leqslant 0$, la valeur $a$ a un unique antécédent dans $]0\,,\mathrm{e}]$, qui est dans $]0\,,1]$ car $h(1) = 0 \geqslant a$, et aucun dans $[\mathrm{e}\,,+\infty[$. $$\boxed{\text{une unique solution, dans } ]0\,,1]}$$

2. Si $0 < a < \frac{1}{\mathrm{e}}$, la valeur $a$ a un antécédent dans $]1\,,\mathrm{e}[$ et un dans $]\mathrm{e}\,,+\infty[$. $$\boxed{\text{deux solutions}}$$

3. Si $a = \frac{1}{\mathrm{e}}$, la seule solution est $\boxed{x = \mathrm{e}}$ ; si $a > \frac{1}{\mathrm{e}}$, $$\boxed{\text{il n'y a aucune solution}},$$ puisque $\frac{1}{\mathrm{e}}$ est le maximum de $h$. Géométriquement, la droite d'équation $y = \frac{x}{\mathrm{e}}$ est tangente à la courbe du logarithme au point d'abscisse $\mathrm{e}$.