Exercice 25

Soit $\varphi : x \mapsto \cos x - \frac{1}{x}$, continue sur $]0\,,+\infty[$. Pour $k \geqslant 1$, $$\varphi(2k\pi) = 1 - \frac{1}{2k\pi} > 0 \qquad\text{et}\qquad \varphi\Big(2k\pi + \frac{\pi}{2}\Big) = -\frac{1}{2k\pi + \frac{\pi}{2}} < 0.$$ Le théorème des valeurs intermédiaires fournit une solution dans chaque intervalle $\big]2k\pi\,,2k\pi + \frac{\pi}{2}\big[$ ; ces intervalles étant disjoints, les solutions sont distinctes. $$\boxed{\text{une infinité de solutions}}$$