Exercice 49

1. On a $|f| = \sqrt{(\operatorname{Re} f)^{2} + (\operatorname{Im} f)^{2}}$, continue comme composée de fonctions continues, puisque $\operatorname{Re} f$ et $\operatorname{Im} f$ le sont (proposition 20). Fonction réelle continue sur un segment, $|f|$ est bornée et atteint ses bornes (théorème 10). $$\boxed{f \text{ est bornée, et } |f| \text{ atteint son minimum et son maximum}}$$

2. Le minimum $m$ de $|f|$ est atteint en un point $t_{0}$, et $m = |f(t_{0})| > 0$ puisque $f$ ne s'annule pas. $\boxed{|f| \geqslant m > 0}$ De plus, $\frac{1}{f} = \frac{\overline{f}}{|f|^{2}}$ a pour parties réelle et imaginaire $\frac{\operatorname{Re} f}{|f|^{2}}$ et $-\frac{\operatorname{Im} f}{|f|^{2}}$, continues comme quotients de fonctions continues à dénominateur non nul : $$\boxed{\frac{1}{f} \text{ est continue}}.$$

3. La fonction $f : t \mapsto \mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi(1 - t)}$ sur $[0\,,1]$ vérifie $\operatorname{Re} f(0) = \cos\pi = -1 < 0 < 1 = \operatorname{Re} f(1)$, mais $|f(t)| = 1$ pour tout $t$ : $$\boxed{f \text{ ne s'annule pas}}.$$ En revanche, $\operatorname{Re} f$ est une fonction réelle continue qui change de signe : $$\boxed{\operatorname{Re} f \text{ s'annule}},$$ par le théorème des valeurs intermédiaires. Le point $f(t)$ décrit un demi-cercle, et traverse l'axe imaginaire sans passer par l'origine.