Exercice 50

Six affirmations sont vraies et quatre sont fausses.

1. Faux. Avec $f : x \mapsto \frac{1}{x^{2}}$ et $g : x \mapsto \sin\frac{1}{x}$ en $0$, $f$ tend vers $+\infty$, $g$ n'a pas de limite, mais $f + g \geqslant \frac{1}{x^{2}} - 1$ tend vers $+\infty$ par comparaison. L'affirmation devient vraie si la limite de $f$ est finie : on écrit alors $g = (f + g) - f$.

2. Vrai. L'image du segment est un intervalle (théorème 9) contenu dans $\mathbb{Q}$ ; s'il contenait deux rationnels distincts, il contiendrait un irrationnel entre eux, par densité (chapitre 7, théorème 2). Il est donc réduit à un point.

3. Faux. Le sinus envoie l'intervalle ouvert $]0\,,2\pi[$ sur le segment $[-1\,,1]$. Seule la propriété d'être un intervalle est conservée (théorème 9), pas sa nature.

4. Vrai. C'est la proposition 17 du cours.

5. Faux. La fonction qui vaut $1$ sur $\mathbb{Q}$ et $-1$ ailleurs n'est continue nulle part, alors que sa valeur absolue est constante (exercice 15).

6. Vrai. C'est la proposition 16 du cours : une discontinuité d'une fonction monotone est un saut, qui laisserait un trou dans l'image.

7. Vrai. C'est la proposition 18 du cours, avec $\delta = \frac{\varepsilon}{k}$.

8. Vrai. Il existe $A > 0$ tel que $f(x) \geqslant f(0)$ pour $|x| \geqslant A$. Sur le segment $[-A\,,A]$, qui contient $0$, $f$ atteint un minimum $m \leqslant f(0)$ (théorème 10), qui est un minimum sur $\mathbb{R}$. C'est l'argument de l'exercice 33.

9. Faux. La fonction $x \mapsto x\,\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x)$ est continue en $0$ et discontinue en tout autre point (cours, section 8.3). La continuité est une propriété ponctuelle, qui ne se propage pas au voisinage.

10. Vrai. Soit $T$ une période et $\varepsilon > 0$. Par le théorème de Heine, $f$ est uniformément continue sur $[-T\,,2T]$ : il existe $\delta \in \,]0\,,T]$ convenant sur ce segment. Si $|x - y| \leqslant \delta$, on translate $x$ et $y$ d'un même multiple de $T$, ce qui ne change pas leurs images, de sorte que $x \in [0\,,T]$ ; alors $y \in [-T\,,2T]$, et $|f(x) - f(y)| \leqslant \varepsilon$.