Exercice 51

1. D'après le théorème 10, l'image d'un segment par une fonction continue est un segment. Pour $f : x \mapsto x + c$, on a $f([a\,,b]) = [a + c\,,b + c]$, et pour $f : x \mapsto c - x$, qui est décroissante, $f([a\,,b]) = [c - b\,,c - a]$. $$\boxed{\text{les deux segments ont pour longueur } b - a}$$

2. Soit $x < y$. Les réels $f(x)$ et $f(y)$ appartiennent tous deux au segment $f([x\,,y])$, dont la longueur vaut $y - x$ ; leur écart est donc au plus $y - x$. Le cas $x > y$ s'en déduit par symétrie, et le cas $x = y$ est immédiat. $$\boxed{\forall (x, y) \in \mathbb{R}^{2}, \quad |f(x) - f(y)| \leqslant |x - y|}$$ La fonction $f$ est $1$-lipschitzienne.

3. D'après le théorème 10, $f([a\,,b]) = [f(c)\,,f(d)]$, et sa longueur vaut $f(d) - f(c) = b - a$ par hypothèse. La question 2 et l'appartenance de $c$ et $d$ à $[a\,,b]$ donnent $$b - a = f(d) - f(c) \leqslant |d - c| \leqslant b - a.$$ Ces inégalités sont donc des égalités, et deux points de $[a\,,b]$ distants de $b - a$ en sont les extrémités : $\{c, d\} = \{a, b\}$. Ainsi $|f(b) - f(a)| = f(d) - f(c) = b - a$. $$\boxed{\forall (x, y) \in \mathbb{R}^{2}, \quad |f(x) - f(y)| = |x - y|}$$

4. On a $g(0) = 0$ et, par la question 3, $|g(x)| = |f(x) - f(0)| = |x|$, donc $g(x) = x$ ou $g(x) = -x$. Supposons qu'il existe deux réels non nuls $x$ et $y$ tels que $g(x) = x$ et $g(y) = -y$. La question 3, appliquée à $g$, donne alors $|x + y| = |x - y|$, et en élevant au carré : $$(x + y)^{2} - (x - y)^{2} = 4xy = 0,$$ ce qui contredit $x \neq 0$ et $y \neq 0$. Ainsi $g = \mathrm{id}_{\mathbb{R}}$ ou $g = -\mathrm{id}_{\mathbb{R}}$, et en posant $c = f(0)$ : $$\boxed{f : x \mapsto x + c \qquad\text{ou}\qquad f : x \mapsto c - x}$$

5. La démonstration de la question 2 n'a utilisé que le fait que $f([x\,,y])$ est un segment de longueur $y - x$ : elle reste valable. La fonction $f$, $1$-lipschitzienne, est continue (proposition 18), et les questions 3 et 4 s'appliquent. $$\boxed{\text{les solutions sont encore les fonctions } x \mapsto x + c \text{ et } x \mapsto c - x}$$

Piège. L'hypothèse porte sur la longueur de l'image d'un segment, pas sur la distance entre deux images : il faut un argument pour passer de l'une à l'autre. C'est le théorème des bornes atteintes qui le fournit, en obligeant le minimum et le maximum de $f$ à être atteints aux deux extrémités du segment.

À retenir. Les fonctions trouvées sont les isométries de la droite : les translations $x \mapsto x + c$ et les symétries $x \mapsto c - x$, de centre $\frac{c}{2}$. La question 4 est un argument de géométrie : un point situé à distance $|x|$ de $0$ et à distance $|x - y|$ d'un autre point est entièrement déterminé dès que l'on sait de quel côté de $0$ il se trouve.