Exercice 52

1. Si $x$ est rationnel, $f(x)$ est irrationnel, et $g(x) = f(x) - x$ l'est aussi : sinon $f(x) = g(x) + x$ serait rationnel, comme somme de deux rationnels. Si $x$ est irrationnel, $f(x)$ est rationnel, et $g(x)$ est irrationnel : sinon $x = f(x) - g(x)$ serait rationnel. C'est l'argument de l'exercice 4 du chapitre 7. $$\boxed{g(\mathbb{R}) \subset \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}}$$

2. La fonction $g$ est continue sur l'intervalle $\mathbb{R}$. Si elle prenait deux valeurs distinctes $g(a) < g(b)$, l'intervalle $]g(a)\,,g(b)[$ contiendrait un rationnel (chapitre 7, théorème 2), qui serait une valeur de $g$ par le théorème des valeurs intermédiaires, ce que la question 1 interdit. La fonction $g$ est donc constante, égale à $c = g(0) = f(0)$, qui est irrationnel puisque $0$ est rationnel. $$\boxed{\forall x \in \mathbb{R}, \quad f(x) = x + c, \qquad c \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}}$$ C'est l'argument de l'exercice 27 et de l'affirmation 2 de l'exercice 50, avec $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ à la place de $\mathbb{Z}$ ou de $\mathbb{Q}$.

3. Le réel $c$ est irrationnel, donc $f(c)$ est rationnel. Or $f(c) = 2c$, et $c = \frac{f(c)}{2}$ serait alors rationnel : c'est absurde. $$\boxed{\text{aucune fonction continue n'échange } \mathbb{Q} \text{ et } \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}}$$

4. Si $f$ envoie $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$, alors $f(\mathbb{R})$ est un intervalle (théorème 9) sans rationnel : par densité de $\mathbb{Q}$, il est réduit à un point. De même, si $f$ envoie $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ dans $\mathbb{Q}$, l'intervalle $f(\mathbb{R})$ ne contient pas d'irrationnel et $f$ est constante. En revanche, l'identité envoie $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$. $$\boxed{\text{seule la répartition } f(\mathbb{Q}) \subset \mathbb{Q}, \ f(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}) \subset \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \text{ est possible}}$$ Les deux autres ne sont réalisées que par des constantes, irrationnelles dans le premier cas et rationnelles dans le second.

À retenir. Le passage à $g = f - \mathrm{id}$ transforme deux conditions croisées en une seule, « $g$ évite $\mathbb{Q}$ », à laquelle s'applique le théorème des valeurs intermédiaires. La question 4 montre que l'obstacle tient au croisement : une fonction continue envoie sans difficulté chacun des deux ensembles dans lui-même.