Exercice 53

1. Pour $\lambda \in \{\varphi, \psi\}$ et $f : x \mapsto \lambda x$, on a $f\big(f(x)\big) = \lambda^{2}x$ et $f(x) + x = (\lambda + 1)x$. Ces deux quantités sont égales pour tout $x$, puisque $\lambda^{2} = \lambda + 1$. $$\boxed{x \mapsto \varphi x \text{ et } x \mapsto \psi x \text{ sont solutions}}$$

2. Si $f(x) = f(y)$, alors $f\big(f(x)\big) = f\big(f(y)\big)$, c'est-à-dire $f(x) + x = f(y) + y$, d'où $x = y$ : la fonction $f$ est injective. Continue et injective sur l'intervalle $\mathbb{R}$, elle est strictement monotone (proposition 17). Posons $c = f(0)$ ; l'équation en $x = 0$ donne $f(c) = c$, donc $c$ est un point fixe. L'équation en $x = c$ donne alors $$c = f(c) = f\big(f(c)\big) - c = f(c) - c = 0.$$

3. La fonction $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$ : elle admet en $+\infty$ une limite $L$, finie ou égale à $+\infty$ (théorème 6). Si $L$ était finie, la continuité de $f$ en $L$ et la composition des limites (théorème 3) donneraient $$\lim\limits_{x \to +\infty} f\big(f(x)\big) = f(L),$$ alors que $f\big(f(x)\big) = f(x) + x$ tend vers $+\infty$. Donc $L = +\infty$. De même, la limite de $f$ en $-\infty$ est $-\infty$, sans quoi $f\big(f(x)\big)$ aurait une limite finie alors que $f(x) + x$ tend vers $-\infty$. Le théorème 11 montre alors que $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $]-\infty\,,+\infty[$, de réciproque continue et strictement croissante. $$\boxed{f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \text{ est bijective}}$$

4. Appliquons l'équation au réel $y = v_{n+2}$, qui vérifie $f(y) = v_{n+1}$ et $f\big(f(y)\big) = f(v_{n+1}) = v_{n}$ : $$v_{n} = v_{n+1} + v_{n+2}, \qquad\text{soit}\qquad \boxed{v_{n+2} = v_{n} - v_{n+1}}.$$ La réciproque $f^{-1}$ est strictement croissante et vérifie $f^{-1}(0) = 0$ : si $v_{n}$ est du signe strict de $x$, il en est de même de $v_{n+1} = f^{-1}(v_{n})$. Par récurrence, $v_{n}$ est du signe strict de $x$ pour tout $n$.

L'équation caractéristique $r^{2} + r - 1 = 0$ a deux racines réelles distinctes, $\frac{1}{\varphi} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ et $-\varphi$. D'après le chapitre 7 (théorème 11), il existe $\lambda$ et $\mu$ tels que $$\forall n \in \mathbb{N}, \qquad v_{n} = \lambda\,\varphi^{-n} + \mu\,(-\varphi)^{n},$$ et ils sont réels, car ils sont solutions d'un système à coefficients réels de solution unique. Si $\mu$ était non nul, on aurait, puisque $\varphi^{2} > 1$, $$\frac{v_{n}}{(-\varphi)^{n}} = \frac{(-1)^{n}\lambda}{\varphi^{2n}} + \mu \xrightarrow[n \to +\infty]{} \mu,$$ de sorte que $v_{n}$ aurait, pour $n$ assez grand, le signe de $(-1)^{n}\mu$, qui alterne : c'est exclu. Donc $\mu = 0$, $\lambda = v_{0} = x$ et $f^{-1}(x) = v_{1} = \frac{x}{\varphi}$. Cette égalité vaut aussi pour $x = 0$, et en l'appliquant au réel $\varphi y$ on obtient $f^{-1}(\varphi y) = y$, c'est-à-dire : $$\boxed{\forall y \in \mathbb{R}, \quad f(y) = \varphi y}$$

5. La fonction $f$ est strictement décroissante et $f(0) = 0$ : elle envoie les réels strictement positifs sur des réels strictement négatifs, et inversement. Par récurrence, $u_{n}$ est non nul et $$\boxed{(-1)^{n}u_{n} \text{ est du signe strict de } x}.$$ L'équation appliquée à $u_{n}$ donne $u_{n+2} = f\big(f(u_{n})\big) = u_{n+1} + u_{n}$. L'équation caractéristique $r^{2} = r + 1$ a pour racines $\varphi$ et $\psi$, et le chapitre 7 fournit deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que $u_{n} = \lambda\varphi^{n} + \mu\psi^{n}$. Si $\lambda$ était non nul, on aurait, puisque $\big|\frac{\psi}{\varphi}\big| < 1$, $$\frac{u_{n}}{\varphi^{n}} = \lambda + \mu\Big(\frac{\psi}{\varphi}\Big)^{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \lambda,$$ et $u_{n}$ aurait le signe constant de $\lambda$ pour $n$ assez grand, ce qui contredit l'alternance des signes. Donc $\lambda = 0$, $\mu = u_{0} = x$, et $f(x) = u_{1} = \psi x$ ; l'égalité vaut aussi pour $x = 0$. $$\boxed{\forall x \in \mathbb{R}, \quad f(x) = \psi x}$$

6. D'après les questions 2 à 5 et la vérification de la question 1 : $$\boxed{\text{les solutions sont } x \mapsto \varphi x \text{ et } x \mapsto \psi x}$$ Les orbites $\big(f^{n}(x)\big)$ d'une solution vérifient toutes la relation de Fibonacci $u_{n+2} = u_{n+1} + u_{n}$, dont l'équation caractéristique est celle qui définit le nombre d'or. Parmi les suites $\lambda\varphi^{n} + \mu\psi^{n}$ de la formule de Binet (chapitre 7), la monotonie de $f$ ne laisse subsister que les suites géométriques : celles de raison $\varphi$ si $f$ est croissante, celles de raison $\psi$ si elle est décroissante.

Piège. On ne peut pas conclure de la question 1 que les solutions sont linéaires : c'est précisément ce qu'il faut démontrer. La continuité a servi deux fois, pour obtenir la stricte monotonie (proposition 17) et pour exclure une limite finie à la question 3.

À retenir. Comme pour les involutions de l'exercice 40 et l'équation $f \circ f = -\mathrm{id}_{\mathbb{R}}$ de l'exercice 31, l'injectivité vient de l'équation elle-même et la continuité la transforme en stricte monotonie. Ce qui est nouveau ici, c'est que l'on suit les itérés d'un point : l'équation fonctionnelle devient une relation de récurrence, que l'on sait résoudre.