Exercice 13

Chaque fonction est continue sur son ensemble de définition, comme composée, produit ou quotient de fonctions usuelles (proposition 9 du cours). Il reste à étudier les points où elle n'est pas définie.

(a) Définie sur $\mathbb{R}^{*}$. En $0$, $-\frac{1}{x^{2}}$ tend vers $-\infty$, et $\mathrm{e}^{u}$ tend vers $0$ quand $u$ tend vers $-\infty$ : $$\boxed{\text{prolongeable en } 0 \text{ par } 0}.$$

(b) Définie sur $\mathbb{R}^{*}$. En $0^{+}$, la fonction tend vers $0$ ; en $0^{-}$, $-\frac{1}{x}$ tend vers $+\infty$ et la fonction vers $+\infty$. $$\boxed{\text{non prolongeable}}$$ Seule sa restriction à $]0\,,+\infty[$ l'est.

(c) Définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$. Avec $u = 1 + x$, qui tend vers $0$, on a $|\sin u\,\ln|u|| \leqslant |u\ln|u||$, qui tend vers $0$ par croissances comparées (chapitre 5). $$\boxed{\text{prolongeable en } -1 \text{ par } 0}$$

(d) Définie sur $]0\,,1[\, \cup \,]1\,,+\infty[$. En $0^{+}$, $x\ln x \to 0$ et $x - 1 \to -1$, donc la fonction tend vers $0$. En $1$, $\frac{\ln x}{x - 1}$ est le taux d'accroissement de $\ln$ en $1$, qui tend vers $\ln'(1) = 1$, et la fonction tend vers $1 \times 1$. $$\boxed{\text{prolongeable par } 0 \text{ en } 0 \text{ et par } 1 \text{ en } 1}$$

(e) Définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$, elle vaut $\frac{(x - 1)(x + 1)}{|x - 1|}$, soit $x + 1$ pour $x > 1$ et $-(x + 1)$ pour $x < 1$. Les limites latérales en $1$ valent $2$ et $-2$. $$\boxed{\text{non prolongeable}}$$

(f) Elle vaut $\frac{(x - 1)^{2}(x + 1)^{2}}{|x - 1|} = |x - 1|\,(x + 1)^{2}$, qui tend vers $0$ en $1$. $$\boxed{\text{prolongeable en } 1 \text{ par } 0}$$ La différence avec (e) tient au carré, qui « absorbe » la valeur absolue.

(g) Définie sur $\mathbb{R}^{*}$, avec $|\sin x\sin\frac{1}{x}| \leqslant |\sin x| \leqslant |x|$. $$\boxed{\text{prolongeable en } 0 \text{ par } 0}$$

(h) Définie sur $\mathbb{R}^{*}$. Avec $x_{n} = \frac{1}{2n\pi}$ et $y_{n} = \frac{1}{2n\pi + \pi/2}$, qui tendent vers $0$, on obtient $\cos(x_{n}) \cdot 1 \to 1$ et $\cos(y_{n}) \cdot 0 = 0$. $$\boxed{\text{non prolongeable}}$$

À retenir. Un facteur de limite nulle rend la fonction prolongeable, comme en (g), alors qu'un facteur de limite non nulle laisse subsister l'oscillation, comme en (h).