Exercice 12

1. D'après la proposition 6 du cours, $f(a^{-}) \leqslant f(a) \leqslant f(a^{+})$. Si $f(a^{-}) = f(a^{+})$, les deux limites latérales valent $f(a)$, et $f$ est continue en $a$ par la proposition 7, ce qui est exclu. $\boxed{f(a^{-}) < f(a^{+})}$

2. Soit $a < b$ dans $D$ et $c \in \,]a\,,b[$. D'après le théorème 6, $f(a^{+}) = \inf_{x > a} f(x) \leqslant f(c)$ et $f(b^{-}) = \sup_{x < b} f(x) \geqslant f(c)$. Ainsi $f(a^{+}) \leqslant f(b^{-})$, et l'intervalle $]f(a^{-})\,,f(a^{+})[$ est entièrement situé à gauche de $]f(b^{-})\,,f(b^{+})[$. $$\boxed{\text{les intervalles sont disjoints}}$$

3. Pour chaque $a \in D$, l'intervalle ouvert $]f(a^{-})\,,f(a^{+})[$ n'est pas vide : il contient un rationnel $r(a)$, par densité de $\mathbb{Q}$ (chapitre 7, théorème 2). Si $a \neq b$, les intervalles sont disjoints, donc $r(a) \neq r(b)$. $$\boxed{a \mapsto r(a) \text{ est une injection de } D \text{ dans } \mathbb{Q}}$$

Une fonction monotone n'a donc « pas plus » de discontinuités qu'il n'y a de rationnels : on dit qu'un tel ensemble est au plus dénombrable. Il peut néanmoins être infini, comme le montre la question suivante.

4. Les fonctions $x \mapsto \lfloor x \rfloor$ et $x \mapsto \lfloor 2x \rfloor$ sont croissantes, ainsi que leur somme $f$. La première est discontinue exactement aux entiers, la seconde aux multiples de $\frac{1}{2}$. En un demi-entier non entier, seule la seconde saute, d'une hauteur $1$ ; en un entier, les deux sautent, et le saut total vaut $2$. Ailleurs, $f$ est localement constante. $$\boxed{D = \Big\{\frac{k}{2} \;\Big|\; k \in \mathbb{Z}\Big\}}$$