Exercice 14

Fonction $f$. Sur chaque intervalle $[n\,,n + 1[$, avec $n \in \mathbb{Z}$, on a $f(x) = n + (x - n)^{2}$ : la fonction $f$ est continue sur $]n\,,n + 1[$ et continue à droite en $n$, de valeur $f(n) = n$. Sa limite à gauche en $n$ se calcule sur $[n - 1\,,n[$ : $$\lim\limits_{x \to n^{-}} f(x) = (n - 1) + \big(n - (n - 1)\big)^{2} = n = f(n).$$ Ainsi $f$ est continue à gauche et à droite en chaque entier. $$\boxed{f \text{ est continue sur } \mathbb{R}}$$

Fonction $g$. Sur $[n\,,n + 1[$, $g(x) = n^{2} + (2n + 1)(x - n)$ est affine, et sa limite à gauche en $n$ vaut $(n - 1)^{2} + (2n - 1) = n^{2} = g(n)$. $$\boxed{g \text{ est continue sur } \mathbb{R}}$$ De plus, $g(n) = n^{2}$ pour tout entier $n$, et $g$ est affine entre deux entiers consécutifs : sa courbe est la ligne brisée qui joint les points $(n, n^{2})$ de la parabole, c'est-à-dire la réunion de cordes de la parabole. La pente $2n + 1$ de chaque corde est d'ailleurs le taux d'accroissement de $x \mapsto x^{2}$ entre $n$ et $n + 1$.

À gauche, la courbe de $f$ est formée d'arcs de parabole qui se raccordent en chaque point $(n, n)$ de la première bissectrice, en pointillés ; à droite, celle de $g$ est la ligne brisée inscrite dans la parabole, en ocre.