Exercice 15

1. L'inégalité triangulaire renversée donne $\big||f(x)| - |f(a)|\big| \leqslant |f(x) - f(a)|$ : si le second membre est inférieur à $\varepsilon$ pour $|x - a| \leqslant \delta$, le premier aussi. $$\boxed{|f| \text{ est continue en } a}$$

La réciproque est fausse : la fonction $f$ qui vaut $1$ sur $\mathbb{Q}$ et $-1$ ailleurs n'est continue en aucun point, pour la même raison que l'indicatrice de $\mathbb{Q}$ dans le cours, alors que $|f| = 1$ est constante.

2. Selon que $f(x) \geqslant g(x)$ ou non, on vérifie $$\boxed{\max(f, g) = \frac{f + g + |f - g|}{2} \qquad \min(f, g) = \frac{f + g - |f - g|}{2}}.$$ Ces fonctions sont continues, par la question 1 et les opérations sur les fonctions continues.

3. Par récurrence sur $n$, avec $\max(f_{1}, \dots, f_{n+1}) = \max\big(\max(f_{1}, \dots, f_{n}), f_{n+1}\big)$ ; de même pour le minimum.