Exercice 16

Le modèle est la fonction $x \mapsto x\,\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x)$ du cours, continue en $0$ seulement : on multiplie $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ par une fonction continue qui s'annule exactement aux points voulus.

(a) Soit $f : x \mapsto (x - 1)(x - 2)\,\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x)$. En $a \in \{1, 2\}$, $|f(x)| \leqslant |(x - 1)(x - 2)|$, qui tend vers $0 = f(a)$. En $a \notin \{1, 2\}$, une suite de rationnels tendant vers $a$ a des images qui tendent vers $(a - 1)(a - 2) \neq 0$, et une suite d'irrationnels des images nulles. $\boxed{f = (x - 1)(x - 2)\,\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}}$

(b) De même, $$\boxed{f : x \mapsto \sin(\pi x)\,\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x)}$$ est continue exactement aux zéros du sinus de $\pi x$, c'est-à-dire aux entiers.

(c) La partie entière convient : elle est continue en tout point non entier et discontinue en chaque entier (cours, section 8.3). $\boxed{f = \lfloor \cdot \rfloor}$

(d) Soit $f : x \mapsto x^{2}\,\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x)$. Elle est continue en $0$ seulement, pour la même raison qu'en (a), et pour $x \neq 0$, $$\Big|\frac{f(x) - f(0)}{x - 0}\Big| \leqslant |x| \xrightarrow[x \to 0]{} 0.$$

$$\boxed{f = x^{2}\,\mathbf{1}_{\mathbb{Q}} \text{ est dérivable en } 0, \text{ de dérivée nulle}}$$ Une fonction peut donc être dérivable en un point sans être continue en aucun autre.