Exercice 17

1. Soit $x$ réel et $(r_{n})$ une suite de rationnels qui tend vers $x$, qui existe par densité de $\mathbb{Q}$ (chapitre 7, proposition 12). On a $f(r_{n}) < g(r_{n})$ pour tout $n$ ; par continuité, $f(r_{n}) \to f(x)$ et $g(r_{n}) \to g(x)$, et le passage à la limite dans les inégalités larges (chapitre 7, théorème 5) donne $\boxed{f(x) \leqslant g(x)}$.

L'inégalité n'est pas stricte en général : avec $f = 0$ et $g : x \mapsto (x - \sqrt{2})^{2}$, on a $f(r) < g(r)$ pour tout rationnel $r$, car $\sqrt{2}$ est irrationnel, mais $f(\sqrt{2}) = g(\sqrt{2})$. Comme pour les suites, les inégalités strictes ne passent pas à la limite.

2. Croissance au sens large. Soit $x < y$ deux réels, et $(r_{n})$, $(s_{n})$ deux suites de rationnels qui tendent vers $x$ et $y$. À partir d'un certain rang, $r_{n} < s_{n}$, donc $f(r_{n}) < f(s_{n})$, et le passage à la limite donne $f(x) \leqslant f(y)$.

Croissance stricte. Soit $x < y$. Par densité, il existe deux rationnels $r < s$ dans $]x\,,y[$. Par croissance au sens large, puis par hypothèse, $$f(x) \leqslant f(r) < f(s) \leqslant f(y).$$

$$\boxed{f \text{ est strictement croissante sur } \mathbb{R}}$$ L'astuce consiste à intercaler deux rationnels, pour que l'inégalité stricte entre eux survive au passage aux réels.