Exercice 18

1. La conclusion est juste, mais la phrase « $f(x)$ tend vers $f(0)$ » n'a pas de sens : $f(x)$ est un nombre fixé, qui ne dépend pas de $n$. La rédaction correcte est la suivante.

La suite $\big(f(\frac{x}{2^{n}})\big)_{n \in \mathbb{N}}$ est constante, égale à $f(x)$. Par continuité de $f$ en $0$ et le théorème 7, elle converge vers $f(0)$. Par unicité de la limite, $f(x) = f(0)$. Ceci vaut pour tout réel $x$ : $f$ est constante.

2. La fonction $x \mapsto 2x + 1$ a pour point fixe $-1$. On pose $g(t) = f(t - 1)$, de sorte que $$g(2t) = f(2t - 1) = f\big(2(t - 1) + 1\big) = f(t - 1) = g(t).$$ La fonction $g$ est continue en $0$ et vérifie $g(2t) = g(t)$ : elle est constante par la question 1. $$\boxed{f \text{ est constante}}$$ Les fonctions constantes conviennent réciproquement.

3. Soit $f$ continue en $0$ et en $1$ telle que $f(x) = f(x^{2})$ pour tout réel $x$.

• Pour $x \in [0\,,1[$, une récurrence donne $f(x) = f(x^{2^{n}})$, et $x^{2^{n}} \to 0$ : comme à la question 1, $f(x) = f(0)$.

• Pour $x > 1$, on a de même $f(x) = f(x^{1/2^{n}})$, et $x^{1/2^{n}} = \exp\big(\frac{\ln x}{2^{n}}\big) \to 1$ : donc $f(x) = f(1)$.

• La continuité en $1$ et le premier point donnent $f(1) = \lim\limits_{x \to 1^{-}} f(x) = f(0)$.

• Pour $x < 0$, $f(x) = f(x^{2})$ avec $x^{2} > 0$ : on se ramène aux cas précédents.

$$\boxed{f \text{ est constante}}$$ La continuité en $0$ et en $1$ est indispensable : ce sont les deux points fixes de $x \mapsto x^{2}$, vers lesquels convergent les suites itérées.