Exercice 19

1. L'hypothèse appliquée à $\frac{x}{2^{k}}$ donne $f\big(\frac{x}{2^{k-1}}\big) - f\big(\frac{x}{2^{k}}\big) = \frac{x}{2^{k}}$. En sommant pour $k$ de $1$ à $n$, les termes se télescopent : $$\boxed{f(x) - f\Big(\frac{x}{2^{n}}\Big) = \sum_{k=1}^{n} \frac{x}{2^{k}} = x\Big(1 - \frac{1}{2^{n}}\Big)}.$$ 2. Quand $n$ tend vers $+\infty$, $\frac{x}{2^{n}} \to 0$, et par continuité en $0$ on obtient $f(x) - f(0) = x$. Réciproquement, $f : x \mapsto x + c$ vérifie $f(2x) - f(x) = 2x + c - x - c = x$. $\boxed{f(x) = x + c, \ c \in \mathbb{R}}$

À retenir. La différence de deux solutions vérifie $h(2x) = h(x)$, l'équation de l'exercice 18 : il suffit donc de trouver une solution particulière, $x \mapsto x$, comme pour les équations différentielles linéaires du chapitre 6.