ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 8 — Limites et continuité · Continuité en un point

Exercice 20

Démonstration

Soit $f : \,]0\,,+\infty[ \,\to \mathbb{R}$ une fonction croissante telle que $x \mapsto \dfrac{f(x)}{x}$ soit décroissante. Montrer que $f$ est continue.

On pourra encadrer $f(x)$ pour $x$ proche d'un réel $a > 0$ , de part et d'autre de $a$ , et utiliser les limites à gauche et à droite données par le théorème de la limite monotone.

Corrigé

Soit $a > 0$ . D'après le théorème 6, $f$ admet en $a$ des limites à gauche et à droite.

À droite. Pour $x > a$ , la croissance de $f$ et la décroissance de $x \mapsto \frac{f(x)}{x}$ donnent $f(a) \leqslant f(x) \qquad\text{et}\qquad \frac{f(x)}{x} \leqslant \frac{f(a)}{a}, \qquad\text{d'où}\qquad f(a) \leqslant f(x) \leqslant \frac{x}{a}f(a).$ Le majorant tend vers $f(a)$ quand $x \to a$ : l'encadrement donne $\lim\limits_{x \to a^{+}} f(x) = f(a)$ .

À gauche. Pour $0 < x < a$ , on obtient de même $\frac{x}{a}f(a) \leqslant f(x) \leqslant f(a)$ , d'où $\lim\limits_{x \to a^{-}} f(x) = f(a)$ .

$\boxed{f \text{ est continue en tout } a > 0}$ Chacune des deux hypothèses interdit les sauts dans un seul sens : la croissance de $f$ interdit les sauts vers le bas, la décroissance de $\frac{f(x)}{x}$ les sauts vers le haut.

Énoncé PDF, p. 5 Corrigé PDF, p. 10 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Continuité Limite d'une fonction en un point Continuité des fonctions monotones

Thèmes

continuité en un point, limites, limites à gauche et à droite, fonctions monotones

Notions

continuité en un point, limite d'une fonction