Exercice 21

1. Si $f(x) = \alpha x + \beta$, alors $f\big(\frac{x + y}{2}\big) = \alpha\frac{x + y}{2} + \beta = \frac{f(x) + f(y)}{2}$ : $$\boxed{\text{les fonctions affines conviennent}}.$$ Pour une solution $f$, la fonction $g = f - f(0)$ est encore solution, car la constante $-f(0)$ passe dans la moyenne. Avec $y = 0$, on obtient $g\big(\frac{x}{2}\big) = \frac{g(x) + g(0)}{2}$, avec $g(0) = 0$. $$\boxed{g\Big(\frac{x}{2}\Big) = \frac{g(x)}{2}}$$

2. En appliquant la question 1 à $x + y$, puis l'équation, $$\boxed{g(x + y) = 2g\Big(\frac{x + y}{2}\Big) = g(x) + g(y)}.$$ 3. La fonction $g$ est continue et vérifie l'équation de Cauchy : d'après l'exemple de la section 8.3 du cours, $g(x) = cx$ avec $c = g(1)$. Ainsi $\boxed{f(x) = cx + f(0)}$ est affine.

Si $f$ est seulement continue en un point $x_{0}$, alors $g$ aussi, et pour tous réels $x$ et $h$, $$g(x + h) - g(x) = g(h) = g(x_{0} + h) - g(x_{0}),$$ qui tend vers $0$ quand $h \to 0$ : $g$ est continue en tout point $x$, et la conclusion subsiste. $$\boxed{\text{la continuité en un point suffit}}$$