Exercice 7

Notons $\varphi(x) = f(x) + \frac{1}{f(x)}$, qui tend vers $2$ en $0$.

La fonction $f$ est majorée près de $0$. Il existe un voisinage $W$ de $0$ sur lequel $\varphi(x) \leqslant 3$ ; comme $\frac{1}{f(x)} > 0$, on en déduit $f(x) \leqslant 3$ sur $W$.

Conclusion. Pour tout réel $t > 0$, on a $t + \frac{1}{t} - 2 = \frac{(t - 1)^{2}}{t}$. Ainsi, sur $W$, $$\big(f(x) - 1\big)^{2} = f(x)\big(\varphi(x) - 2\big) \leqslant 3\big(\varphi(x) - 2\big) \xrightarrow[x \to 0]{} 0,$$ puisque $\varphi(x) - 2 \geqslant 0$. L'encadrement donne $\lim\limits_{x \to 0} (f(x) - 1)^{2} = 0$, puis $|f(x) - 1| = \sqrt{(f(x) - 1)^{2}}$ tend vers $0$ par continuité de la racine carrée. $\boxed{\lim\limits_{x \to 0} f(x) = 1}$

Piège. On ne peut pas « résoudre » l'équation limite $\ell + \frac{1}{\ell} = 2$, car rien ne dit a priori que $f$ admet une limite : c'est précisément ce qu'il faut démontrer. L'encadrement établit à la fois l'existence et la valeur.