Exercice 6

Sens direct. Supposons $\lim\limits_{x \to 0} f(x) = \ell$. Comme $\lim\limits_{x \to 0} \sin x = 0$, la composition des limites (théorème 3) donne $\lim\limits_{x \to 0} f(\sin x) = \ell$.

Réciproque. Supposons $\lim\limits_{x \to 0} f(\sin x) = \ell$, et notons $g : t \mapsto f(\sin t)$. Pour $x \in [-1\,,1]$, on a $\sin(\operatorname{Arcsin} x) = x$, donc $f(x) = g(\operatorname{Arcsin} x)$. La fonction $\operatorname{Arcsin}$ est continue en $0$ (théorème 11) et $\operatorname{Arcsin} 0 = 0$ : par composition, $f(x) = g(\operatorname{Arcsin} x)$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $0$. $$\boxed{\text{les deux propriétés sont équivalentes}}$$

Avec $\cos$ en $\frac{\pi}{2}$. Le résultat subsiste : $\cos$ tend vers $0$ en $\frac{\pi}{2}$, ce qui donne le sens direct, et $x = \cos(\operatorname{Arccos} x)$ avec $\operatorname{Arccos}$ continue en $0$ et $\operatorname{Arccos} 0 = \frac{\pi}{2}$ donne la réciproque.

Avec $x \mapsto x^{2}$. Le sens direct subsiste, mais pas la réciproque, car $x^{2}$ ne prend que des valeurs positives : seules les valeurs de $f$ sur $[0\,,+\infty[$ interviennent. Par exemple, $f = \mathbf{1}_{[0,+\infty[}$ vérifie $f(x^{2}) = 1$ pour tout $x$, mais n'a pas de limite en $0$, ses limites à gauche et à droite valant $0$ et $1$. $$\boxed{\text{faux pour } x \mapsto x^{2}}$$

À retenir. Le changement de variable dans une limite n'est réversible que si la nouvelle variable parcourt tout un voisinage du point : c'est le rôle de la bijection réciproque continue.