Exercice 5

Dans chaque cas, on applique la méthode du cours : deux suites qui tendent vers $+\infty$, dont les images ont des limites différentes, interdisent l'existence d'une limite (théorème 1).

Fonction $x \mapsto \cos(x^{2})$. Avec $x_{n} = \sqrt{2n\pi}$ et $y_{n} = \sqrt{(2n + 1)\pi}$, qui tendent vers $+\infty$, on a $\cos(x_{n}^{2}) = 1$ et $\cos(y_{n}^{2}) = -1$. $$\boxed{\text{pas de limite}}$$

Fonction $x \mapsto x - \lfloor x \rfloor$. Avec $x_{n} = n$ et $y_{n} = n + \frac{1}{2}$, les images valent $0$ et $\frac{1}{2}$. $$\boxed{\text{pas de limite}}$$

Fonction $x \mapsto \frac{x\cos x}{1 + |x|}$. Avec $x_{n} = 2n\pi$ et $y_{n} = (2n + 1)\pi$, les images valent $\frac{2n\pi}{1 + 2n\pi}$, qui tend vers $1$, et $-\frac{(2n + 1)\pi}{1 + (2n + 1)\pi}$, qui tend vers $-1$. $$\boxed{\text{pas de limite}}$$

En revanche, $\big|\frac{\cos(x^{2})}{x}\big| \leqslant \frac{1}{x}$ pour $x > 0$, et l'encadrement donne $$\boxed{\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\cos(x^{2})}{x} = 0}.$$