Exercice 8

1. La fonction $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$ : d'après le théorème 6, elle admet en $+\infty$ une limite $L \in \,]-\infty\,,+\infty]$, égale à $\sup_{\mathbb{R}} f$. Par la caractérisation séquentielle (théorème 1), $\lim\limits_{n \to +\infty} f(\xi_{n}) = L$ ; l'unicité de la limite d'une suite donne $L = \ell$. $$\boxed{\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \ell}$$

2. La fonction $f : x \mapsto \sin(\pi x)$ et la suite $\xi_{n} = n$ conviennent : $f(\xi_{n}) = 0$ pour tout $n$, mais $f$ n'a pas de limite en $+\infty$, puisque $f\big(n + \frac{1}{2}\big) = (-1)^{n}$. $$\boxed{\text{l'hypothèse de croissance est indispensable}}$$

3. Une bijection croissante est strictement croissante, puisqu'elle est injective. Par le théorème 6, $f$ admet en $+\infty$ la limite $\sup_{\mathbb{R}} f$ si $f$ est majorée, et $+\infty$ sinon. Or $f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}$ n'est pas majoré. $$\boxed{\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty}$$