Exercice 9

Une fonction constante admet évidemment une limite finie. Réciproquement, soit $T > 0$ une période de $f$ et $\ell$ sa limite en $+\infty$. Soit $x \in \mathbb{R}$ : la suite $(x + nT)$ tend vers $+\infty$, donc $\lim\limits_{n \to +\infty} f(x + nT) = \ell$ par le théorème 1. Or $f(x + nT) = f(x)$ pour tout $n$ : la suite est constante, et sa limite est $f(x)$. Ainsi $f(x) = \ell$ pour tout réel $x$. $$\boxed{f \text{ est constante}}$$

Application. La fonction $g : x \mapsto a\cos x + b\cos(2x)$ est $2\pi$-périodique ; si elle admet une limite finie en $+\infty$, elle est constante, égale à un réel $c$. En évaluant en $0$, en $\pi$ et en $\frac{\pi}{2}$, on obtient $$a + b = c, \qquad -a + b = c, \qquad -b = c.$$ Les deux premières donnent $a = 0$ et $b = c$, la troisième $b = -c$, d'où $b = c = 0$. $\boxed{a = b = 0}$