Exercice 10

1. Si $\ell$ est réel, la composition des limites donne $\lim\limits_{x \to 0} f(2x) = \ell$, donc $\lim\limits_{x \to 0} f(x)f(2x) = \ell^{2}$, d'où $\ell^{2} = 0$. Si $\ell = \pm\infty$, le produit $f(x)f(2x)$ tend vers $+\infty$, ce qui contredit l'hypothèse. $\boxed{\ell = 0}$

2. Soit $x$ réel. Si $x \notin E$, alors $f(x) = 0$. Si $x \in E$, il existe $k$ tel que $2^{-2k-1} \leqslant x < 2^{-2k}$, d'où $2^{-2k} \leqslant 2x < 2^{-2k+1}$ : le réel $2x$ tombe dans un « trou » entre deux intervalles de $E$, et $f(2x) = 0$. Dans tous les cas, $\boxed{f(x)f(2x) = 0}$.

Pourtant $f$ n'a pas de limite en $0$ : les suites $x_{k} = 2^{-2k-1} \in E$ et $y_{k} = 2^{-2k-2} \notin E$ tendent vers $0$, avec $f(x_{k}) = 1$ et $f(y_{k}) = 0$.

À retenir. L'hypothèse ne lie $f(x)$ qu'aux valeurs $f(2x)$, $f(4x)$, et ainsi de suite : la fonction peut alterner entre deux valeurs sur des bandes successives, de plus en plus fines. C'est la structure de $E$, faite d'intervalles $[2^{-j-1}\,,2^{-j}[$ pris un sur deux, qui le rend possible.