Exercice 3

On part de l'encadrement de la partie entière : pour $x \neq 0$, $\frac{1}{x} - 1 < \lfloor \frac{1}{x} \rfloor \leqslant \frac{1}{x}$.

Fonction $f$. En $0^{+}$, $\lfloor \frac{1}{x} \rfloor > \frac{1}{x} - 1$ tend vers $+\infty$ ; en $0^{-}$, $\lfloor \frac{1}{x} \rfloor \leqslant \frac{1}{x}$ tend vers $-\infty$, par comparaison (théorème 5). $$\boxed{\lim\limits_{x \to 0^{+}} f(x) = +\infty \qquad \lim\limits_{x \to 0^{-}} f(x) = -\infty}$$ Fonction $g$. Pour $x > 0$, on multiplie l'encadrement par $x > 0$ : $1 - x < g(x) \leqslant 1$. Pour $x < 0$, la multiplication par $x$ renverse les inégalités : $1 \leqslant g(x) < 1 - x$. Dans les deux cas, l'encadrement donne $$\boxed{\lim\limits_{x \to 0^{+}} g(x) = \lim\limits_{x \to 0^{-}} g(x) = 1}.$$ Fonction $h$. On a $h(x) = x\,g(x)$, produit d'une fonction de limite nulle par une fonction de limite $1$ : $\boxed{\lim\limits_{x \to 0} h(x) = 0}$.

Les deux limites latérales de $g$ étant égales, $g$ admet la limite $1$ en $0$ (proposition 5) : $$\boxed{g \text{ se prolonge par continuité en } 0 \text{ par la valeur } 1},$$ et $$\boxed{h \text{ par la valeur } 0}.$$

Piège. Il ne faut pas écrire $x\lfloor \frac{1}{x} \rfloor = 1$ en « simplifiant » : $g$ n'est pas constante, elle vaut par exemple $\frac{2}{3}$ en $x = \frac{2}{3}$. C'est seulement sa limite qui vaut $1$.