Exercice 2

Les quatre premières limites se ramènent à $\lim\limits_{u \to 0} \frac{\ln(1 + u)}{u} = 1$, qui est le taux d'accroissement du logarithme en $1$, sa dérivée y valant $1$. On écrit pour cela les puissances sous forme exponentielle, puis on conclut par continuité de $\exp$ et composition des limites.

(a) Pour $x > 0$, $\big(1 + \frac{1}{x}\big)^{x} = \exp\Big(\dfrac{\ln(1 + u)}{u}\Big)$ avec $u = \frac{1}{x}$, qui tend vers $0$. La limite vaut $\boxed{\mathrm{e}}$.

(b) De même, $(1 + x)^{1/x} = \exp\Big(\dfrac{\ln(1 + x)}{x}\Big) \xrightarrow[x \to 0^{+}]{} \boxed{\mathrm{e}}$. Les questions (a) et (b) sont la même limite, au changement de variable $u = \frac{1}{x}$ près.

(c) On a $x^{1/x} = \exp\big(\frac{\ln x}{x}\big)$, et $\frac{\ln x}{x} \xrightarrow[x \to +\infty]{} 0$ par croissances comparées : la limite vaut $\boxed{1}$.

(d) La formule de factorisation du chapitre 4 donne $\cos(3x) - \cos x = -2\sin(2x)\sin x$. Pour $x \neq 0$ voisin de $0$, $$\frac{\cos(3x) - \cos x}{\sin(x^{2})} = -4 \times \frac{\sin(2x)}{2x} \times \frac{\sin x}{x} \times \frac{x^{2}}{\sin(x^{2})} \xrightarrow[x \to 0]{} \boxed{-4},$$ chacun des trois quotients tendant vers $1$ par la limite $\frac{\sin u}{u} \xrightarrow[u \to 0]{} 1$ du cours et composition.

(e) D'après la formule de duplication, $\tan(2x) = \frac{2\tan x}{1 - \tan^{2}x}$, donc $$\tan x\tan(2x) = \frac{2\tan^{2}x}{1 - \tan^{2}x} = \frac{2}{\frac{1}{\tan^{2}x} - 1}.$$ En $\frac{\pi}{2}$, $\tan^{2}x$ tend vers $+\infty$ : la limite vaut $\boxed{-2}$.

(f) On pose $u = \frac{1}{x}$, qui tend vers $0^{+}$ : $$x\Big(\mathrm{e}^{1/x} - \cos\frac{1}{x}\Big) = \frac{\mathrm{e}^{u} - 1}{u} + \frac{1 - \cos u}{u} \xrightarrow[u \to 0^{+}]{} 1 + 0 = \boxed{1},$$ le premier quotient étant le taux d'accroissement de $\exp$ en $0$, et le second étant compris entre $0$ et $\frac{u}{2}$ puisque $0 \leqslant 1 - \cos u \leqslant \frac{u^{2}}{2}$ (cours, section 8.2).

(g) On pose $t = \operatorname{Arccos} x$, qui tend vers $0^{+}$ quand $x$ tend vers $1^{-}$, par continuité de $\operatorname{Arccos}$ (théorème 11). Alors $x = \cos t$ et $$\frac{1 - x}{\operatorname{Arccos} x} = \frac{1 - \cos t}{t} \in \Big[0\,,\frac{t}{2}\Big], \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{\lim\limits_{x \to 1^{-}} \frac{1 - x}{\operatorname{Arccos} x} = 0}.$$ Autrement dit, $\operatorname{Arccos} x$ tend vers $0$ beaucoup moins vite que $1 - x$ : la courbe de $\operatorname{Arccos}$ a une tangente verticale en $1$.

(h) On multiplie par la quantité conjuguée $\sqrt{1 + x} + 1 + \frac{x}{2}$ : $$\sqrt{1 + x} - 1 - \frac{x}{2} = \frac{(1 + x) - \big(1 + \frac{x}{2}\big)^{2}}{\sqrt{1 + x} + 1 + \frac{x}{2}} = \frac{-\frac{x^{2}}{4}}{\sqrt{1 + x} + 1 + \frac{x}{2}}.$$ En divisant par $x^{2}$, on obtient $$\boxed{\text{la limite } -\frac{1}{8}}.$$ Le chapitre 10 retrouvera ce résultat par un développement limité : $\sqrt{1 + x} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^{2}}{8} + \dots$