Exercice 23

La fonction $f$ est dérivable, de dérivée $f'(x) = 3x^{2} - 6x = 3x(x - 2)$, positive sur $]-\infty\,,0]$ et $[2\,,+\infty[$ et négative sur $[0\,,2]$, ne s'annulant qu'en $0$ et $2$. Ainsi $f$ est strictement croissante sur $]-\infty\,,0]$, strictement décroissante sur $[0\,,2]$, strictement croissante sur $[2\,,+\infty[$, avec $$f(0) = -1, \qquad f(2) = -5, \qquad \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty, \qquad \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty.$$ Par le théorème de la bijection continue, $f$ réalise une bijection de $]-\infty\,,0]$ sur $]-\infty\,,-1]$, de $[0\,,2]$ sur $[-5\,,-1]$ et de $[2\,,+\infty[$ sur $[-5\,,+\infty[$. Le nombre de solutions de $f(x) = a$ est le nombre de ces trois intervalles qui contiennent $a$, en prenant garde aux valeurs $-1$ et $-5$, atteintes en deux bornes communes. $$\boxed{\begin{array}{c|c|c|c|c|c} a & a < -5 & a = -5 & -5 < a < -1 & a = -1 & a > -1 \\ \hline \text{nombre de solutions} & 1 & 2 & 3 & 2 & 1 \end{array}}$$